Skip to main content

常用分布

常用分布​

均匀分布​

所有取值的概率相同，连续形式为

f(x)={1b−a,a<x<b0f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}, a<x<b \\ 0 \end{cases}

其均值方差为 E(X)=a+b2,D(X)=(b−a)212E(X)= \frac{a+b}{2},D(X) =\frac{(b-a)^2}{12}.

二项分布​

0-1 分布：随机变量只能取两个值；

二项分布：满足分布率：

P{X=k}=Cnkpkqn−k,k=0,1⋯P\{X=k\}=C_{n}^kp^kq^{n-k},k=0,1\cdots

其中 q=1−pq=1-p，记作 X∼B(n,p)X\sim B(n, p)；n=1n=1 时，二项分布退化为 0−10-1 分布；

几何分布：满足分布率：

P{X=k}=pqk−1,k=1,2⋯P\{X=k\}=pq^{k-1},k=1,2\cdots
info

在伯努利试验中，在第 kk 次试验才首次成功的概率服从几何分布，即前面都失败，只有最后一次成功。

note

几何分布是帕斯卡分布 r=1r=1 时的特例，帕斯卡分布是负二项分布的正整数形式，描述第 nn 次成功发生在第 kk 次的概率。

超几何分布：满足分布率：

P{X=k}=CMkCN−Mn−kCNn,k=l1,⋯ ,l2P\{X=k\}=\frac{C_{M}^kC_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^n}, k=l_{1},\cdots,l_{2}

其中 l1=max(0,n−N+M)l_{1}=max(0,n-N+M)，l2=min(M,n)l_{2}=min(M,n)，则称其为服从参数 n,N,Mn,N,M 的超几何分布。

与几何分布不同，超几何分布是“不放回的”，相当于 NN 个产品中有 MM 个次品，取 nn 个，其中有 kk 个是次品。但若是有放回的，则随机变量服从 B(n,MN)B\left(n, \frac{M}{N} \right).

泊松分布​

满足分布率：

P{X=k}=λkk!e−λ,k=0,1⋯P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, k=0,1\cdots

其中 λ>0\lambda>0，记作 X∼P(λ)X\sim P(\lambda)，一段时间电话总机接到呼叫次数、候车的旅客、保险索赔次数等都服从泊松分布。

指数分布​

指数分布：连续型随机变量 满足分布率：

f(x)={λe−λx,x>00,x≤0,λ>0f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},x>0\\ \\ 0 ,x\leq 0 \end{cases},\lambda>0

则称其服从参数为 λ\lambda 的指数分布，记作 X∼E(λ)X\sim E(\lambda) .

其累积分布函数：

F(x)={1−e−λx,x>00,x≤0,λ>0F(x)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda x},x>0\\ \\ 0,x\leq 0 \end{cases} ,\lambda>0

性质

可以证明 P{X>t}=∫t∞λe−λx dx=F(∞)−F(t)=e−λxP\{X>t\}=\int_{t}^{\infty} \lambda e^{-\lambda x}\, dx=F(\infty)-F(t)=e^{-\lambda x}.

P{X>t+s∣X>s}=P{X>t+s}P{X>s}=e−λxP\{X>t+s|X>s\}=\frac{P\{X>t+s\}}{P\{X>s\}}=e^{-\lambda x}，此性质被称为指数分布的 无记忆性。

正态分布​

正态分布：连续型随机变量 满足分布率：

f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2,−∞<x<∞f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }, -\infty<x<\infty

其中 μ\mu 表示均值，σ\sigma 表示标准差，则称 X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)，若 X∼N(0,1)X\sim N(0,1)，则称其服从标准正态分布 ϕ(x)=12πe−x22,−∞<x<∞\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ -\frac{x^2}{2} }, -\infty<x<\infty .

f(x)f(x) 关于 x=μx=\mu 对称，ϕ(x)\phi(x) 是偶函数。

其累积分布函数：

F(x)=12[1+erf(x−μσ2)]=12π∫−∞xe−(t−μ)22σ2 dx\begin{aligned} F(x) &= \frac{1}{2}\left[1 + \mathrm{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt{2}}\right)\right]\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}} \, dx \end{aligned}

这里的 erf\mathrm{erf} 表示高斯误差函数：

erf(x)=2π∫0xe−t2dt\mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^2} dt

标准正态分布的累积分布函数：

Φ(x)=12π∫−∞xe−t22\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}

其与一般正态分布有着如下的转换公式

F(x)=Φ(x−μσ)F(x)=\Phi\left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)

若 f(x)=k1Φ(x−u1σ1)+k2(x−μ2σ2)f(x)=k_{1}\Phi\left( \frac{x-u_{1}}{\sigma_{1}} \right)+k_{2}\left( \frac{x-\mu_{2}}{\sigma_{2}} \right)，且 k1+k2=1k_{1}+k_{2}=1，则 EX=k1u1+k2u2EX=k_{1}u_{1}+k_{2}u_{2}.

若 X∼N(0,1)X\sim N(0,1)，则 P{∣X∣≤x}=2Φ(x)−1P\{|X|\leq x\}=2\Phi(x)-1

note

以下的分布都是一些常用的统计抽样分布。

卡方分布​

tip

卡方分布由多个相互独立标准正态分布的随机变量的平方之和引出。

对于 nn 个随机变量序列，Xi∼N(0,1)X_{i}\sim N(0,1)，则

X=∑i=1nXi2 X=\sum_{i=1}^nX_{i}^2

则 XX 的分布率为卡方分布，记作 X∼χ2(n)X\sim \chi^2(n)，其中参数 nn 被成为自由度。

其概率密度函数为

f(x)={12n2Γ(n2)xn2−1e−n2,x>00f(x)=\begin{cases} \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma\left( \frac{n}{2} \right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{n}{2}}, x>0 \\ 0 \end{cases}

是一个非对称分布，当 nn 足够大时，趋向于正态分布。

t 分布​

tip

标准正态分布 和卡方分布 根号 的商。

对于独立随机变量 X∼N(0,1),Y∼χ2(n)X\sim N(0,1), Y\sim\chi^2(n_{})

T=XY/nT= \frac{X}{\sqrt{ Y/n }}

则称 TT 为服从自由度为 nn 的 TT 分布，记作 T∼T(n)T\sim T(n).

其概率密度函数为 偶函数，并且当 nn 充分大时，其分布近似于 标准正态分布。

F 分布​

tip

FF 分布是两个卡方分布的商。

对于两个服从卡方分布的独立随机变量 X∼χ2(n1),Y∼χ2(n2)X\sim\chi^2(n_{1}), Y\sim\chi^2(n_{2})

F=X/n1Y/n2F= \frac{X/n_{1}}{Y/n_{2}}

则称 FF 为服从自由度为 (n1,n2)(n_{1},n_{2}) 的 FF 分布，记作 F∼F(n1,n2)F\sim F(n_{1},n_{2})，另有 1F∼F(n2,n1)\frac{1}{F}\sim F(n_{2},n_{1}).

其概率密度函数为

f(x)={Γ(n1+n22)Γ(n12)Γ(n22)n1n12n2n22xn1−12(n1x+n2)n1+n22,x>00f(x)=\begin{cases} \frac{\Gamma\left( \frac{n_{1}+n_{2}}{2} \right)}{\Gamma\left( \frac{n_{1}}{2} \right)\Gamma\left( \frac{n_{2}}{2} \right)}n_{1}^{\frac{n_{1}}{2}}n_{2}^{\frac{n_{2}}{2}} \frac{x \frac{n_{1}-1}{2}}{(n_{1}x+n_{2})^{\frac{n_{1}+n_{2}}{2}}},x>0\\ 0 \end{cases}

根据 t 分布的定义，可以发现 X∼T(n)X\sim T(n)，则 X2∼χ(1,n)X^2\sim\chi(1, n).

期望方差​

分布期望方差
均匀a+b2\frac{a+b}{2}(b−a)212\frac{(b-a)^2}{12}
0-1ppp(1−p)p(1-p)
二项npnpnp(1−p)np(1-p)
几何1p\frac{1}{p}1−pp\frac{1-p}{p}
泊松λ\lambdaλ\lambda
指数1λ\frac{1}{\lambda}1λ2\frac{1}{\lambda^2}
正态μ\muσ2\sigma^2
卡方nn2n2n
t00nn−2\frac{n}{n-2}
Fn2n2−2\frac{n_{2}}{n_{2}-2}2n22(n1+n2−2)n1(n2−2)2(n2−4)\frac{2n_{2}^2(n_{1}+n_{2}-2)}{n_{1}(n_{2}-2)^2(n_{2}-4)}

分布可加性​

info

可加性的首要前提是相互独立。

对于服从 二项分布 的随机变量 X∼B(n1,p),Y∼B(n2,p)X\sim B(n_{1},p), Y\sim B(n_{2},p) ，则 X+Y∼B(n1+n2,p)X+Y\sim B(n_{1}+n_{2},p).

对于服从 泊松分布 的随机变量 X∼P(λ1),Y∼P(λ2)X\sim P(\lambda_{1}), Y\sim P(\lambda_{2}) ，则 X+Y∼P(λ1+λ2)X+Y\sim P(\lambda_{1}+\lambda_{2}).

对于服从 卡方分布 的随机变量 X∼χ2(n1),Y∼χ2(n2)X\sim \chi^2(n_{1}), Y\sim \chi^2(n_{2}) ，则 X+Y∼χ2(n1+n2)X+Y\sim \chi^2(n_{1}+n_{2}).

服从 正态分布 的随机变量的任意线性组合都可以，注意方差系数需要乘以平方，例如 X+Y∼N(c1u1+c2u2,c12σ12+c22σ22)X+Y\sim N(c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2},c_{1}^2\sigma^2_{1}+c_{2}^2\sigma^2_{2}).

指数分布不具有可加性，但是独立的指数分布求和服从 gamma 分布。