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代数系统

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前面略

概念​

由非空集合和集合上的若干运算，可以构成一个代数系统，如 U<X,f1,f2⋯fn>,n≥1U<X,f_{1},f_{2}\cdots f_{n}>,n\geq 1。

若 XX 是有限集合，则称为 有限代数系统，对于两个代数系统，若其运算所对应的元数相同，则称其为 同类型代数系统。

同态和同构​

设两个代数系统 <X,⋆>,<Y,∙><X,\star>,<Y,\bullet> 都有一个不同的二元运算，若存在映射 f:X→Yf: X\to Y，使得任意的 x1,x2∈Xx_{1},x_{2}\in X，都有 f(x1⋆x2)=f(x1)∙f(x2)f(x_{1}\star x_{2})=f(x_{1})\bullet f(x_{2})，则称 ff 是 同态映射，简称这两个代数系统同态，记作 X∼YX\sim Y

，并称 <f(X),∙<f(X),\bullet 为 <X,⋆><X,\star> 的 同态像。

若 ff 为满射，则是 满同态，若 ff 是单射，则是 单一同态，若 ff 是双射，则是 同构，若 ff 是自身到自身的映射，则称为 自同态（同构）。

同构关系是等价关系。

同态核，在 XX 集合中所有映射到 YY 中幺元的集合，其中一定包含 XX 原本的幺元。

半群​

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非空集合上的 二元运算，满足 封闭性、可结合性，就是半群；如果其中存在幺元，称之为 独异点，称半群为 含幺半群。

caution

这里的独异点指的不是幺元，而是半群。

caution

除法减法都不满足结合律，因此不是半群。

若运算可交换，则称为 可交换半群，其中的独异点为 可交换独异点，如实数集上的加法、自然数上的乘法等。

集合中所有的幂等元构成的集合一定是 可交换独异点。

子半群，若半群的非空子集也是半群，就是子半群，其中的幺元被称为 子独异点；如自然数集上的加法就是整数集上加法的子半群。

证明子半群只需要证明 封闭性 即可，结合性一定满足。

群​

在独异点的基础上，还需要满足 每个元素的都可逆，便是群，集合有限便是 有限群，否则是 无限群；只含有幺元的群是 平凡群；若运算可交换，则称为 交换群或阿贝尔群。

实数上的乘法不是群，因此 00 乘任何数都是 00，不可逆；集合上的交集也不是群，幺元是全集，但是除了全集都不可逆。

性质：

  1. 集合的基数大于等于 22，则无零元；反例就是乘法，一旦有零元就会导致不可逆；
  2. 每个元素均可消去；因为其可结合加上每个元素都可逆；
  3. 除幺元，无其他幂等元，a∙a=a∙ea\bullet a=a\bullet e，消去 a=ea=e；
  4. 群方程有唯一解，换句话说集合中的任意两个元素运算一定对应另一个唯一的元素（不考虑运算元素的交换）；
  5. 对于有限群，集合中的每个元素在运算表中的 每一行每一列都必须出现且仅出现一次，可由唯一解推出。
  6. (a⋆b)−1=b−1⋆a−1(a\star b)^{-1}=b^{-1}\star a^{-1}，左右同乘，使用结合律证明。

群的阶：有限群的阶就是集合元素个数，无限群是集合的基数。

子群​

集合的 非空有限 子集，运算在其上满足封闭性，则是 子群，<{e},⋆><\{e\},\star> 和 <G,⋆><G,\star> 都是 <G,⋆><G,\star> 的子群，称为 平凡子群。

若集合的非空子集 SS，对于任意的 a,b∈Sa,b\in S，都有 a⋆b−1∈Sa\star b^{-1}\in S，则 <S,⋆><S,\star> 是子群。

陪集：设 <H,⋆><H,\star> 是 <G,⋆><G,\star> 的子群，a∈Ga\in G，定义集合：

  1. aH=a⋆h∣h∈HaH={a\star h|h\in H}
  2. Ha=h⋆a∣h∈HHa={h\star a|h\in H} 则称 aH,HaaH,Ha 为 aa 确定的 HH 在 GG 中的左、右陪集，aa 一定属于且仅属于一个陪集。

任意的两个左陪集，要么相等，要么不相交。

若 GG 是有限群，则其子群左陪集中无重复元素。

拉格朗日定理​

GG 是有限群，且 ∣G∣=n|G|=n，其子群 ∣H∣=m|H|=m，则 n=kmn=km，一定能被整除。

循环群​

存在一个元素 gg，对于群中的任意一个元素 xx，都存在一个整数 ii，使得 x=gix=g^i，则称群是 循环群，gg 为 生成元。

若 gg 的阶是 nn（即 gn=eg^n=e），则群又被称为 n 阶循环群，循环周期 为 nn；对于有限循环群，n=∣G∣n=|G|.

若 gg 是无限阶元，则为 无限循环群。

循环群生成元的个数

  1. 无限循环群只有两个生成元 g,g−1g,g^{-1}
  2. nn 阶循环群有 ϕ(n)\phi(n) 个生成元，ϕ()\phi() 是欧拉函数，表示小于等于 nn 的且与 nn 互素的正整数的个数；如 n=12n=12，满足条件的数有 1,5,7,111,5,7,11，则 g,g5,g7,g11g,g^5,g^7,g^{11} 都是生成元。

循环群的子群

  1. 若 <G,⋆><G,\star> 是循环群，则其子群仍是循环群；
  2. 若是无限循环群，则除了 <{e},⋆><\{e\},\star> 外的子群都是无限循环子群；因为其中一定存在一个最小阶的生成元，而幺元不是生成元；
  3. 对 nn 阶循环群的每个正因子 dd，都恰好含有一个 dd 阶子群。

环和域​

给定代数系统 <A,+,⋅><A,+,\cdot> ，其中都是二元运算，若满足以下条件：

  1. <A,+><A,+> 是交换群；
  2. <A,⋅><A,\cdot> 是半群；
  3. ⋅\cdot 对 ++ 可分配，即 a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c)a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c) 及 (a+b)⋅c=(a⋅c)+(b⋅c)(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)
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可以直接看作加乘来方便理解

则称其为 环

定理：

  1. ++ 的幺元恰好是 ⋅\cdot 的零元，也是 环的零元；
  2. (−a)⋅b=a⋅(−b)=−(a⋅b)=−a⋅b(-a)\cdot b=a\cdot(-b)=-(a\cdot b)=-a\cdot b，这里的 −- 表示 ++ 的拟元；
  3. (−a)⋅(−b)=a⋅b(-a)\cdot(-b)=a\cdot b；
  4. a⋅(b−c)=a⋅b−a⋅ca\cdot(b-c)=a\cdot b-a\cdot c；
  5. (a−b)⋅c=a⋅c−b⋅c(a-b)\cdot c=a\cdot c-b\cdot c

若 a⋅b=0a\cdot b=0，但是 a,ba,b 都不是零元，则称其为零因子；但对于任意的 a,v∈Aa,v\in A，a⋅b=0  ⟹  a=0∨b=0a\cdot b=0\implies a=0\vee b=0，其中是无零因子的，称之为 无零因子环，其充分必要条件是 ⋅\cdot 满足可消去性。

特殊环，若 ⋅\cdot 满足交换律，则称之为 交换环，若 <A,⋅><A,\cdot> 存在幺元，则称 <A,+,⋅><A,+,\cdot> 为 含幺环；若其是交换环、含幺环和无零因子环，称之为 整环。

在整环的基础上，若 <A=0,⋅><A={0},\cdot> 是交换群，则称其是 域；这里去除零元是因为其没有逆元，不成群。

整数的加法和乘法就是整环，但不是域；有限整环必定是域。

格与布尔代数​

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格中的任意两个元素都有 上确界 和 下确界。所有全序关系都是格，称之为 平凡格。