分块矩阵

矩阵乘法

相当于将分块矩阵的每一个块当作一个元素做矩阵乘法，但是前提是他们能够相乘，即相乘的各块满足矩阵乘积的形状。

广义初等变换

同样是左乘表示行变换，右乘表示列变换，$1$ 使用分块矩阵 $E$ 来代替，倍乘的数值除了对角阵也可以使用任意的可逆矩阵代替；形式与矩阵的初等变换一致，见 此.

转置

整体转置，局部也要转置

$$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A^T&C^T\\B^T&D^T\end{pmatrix}$$

高次幂

caution

副对角线上没有高次幂公式。

$$\begin{pmatrix}A&\\&B\\&&C\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}A^n&\\&B^n\\&&C^n\end{pmatrix}$$

行列式

$$\begin{vmatrix}A&O\\O&B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&C\\O&B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&O\\D&B\end{vmatrix}=|A||B|$$ $$\begin{vmatrix}A&\\&B\\&&C\end{vmatrix}=|A||B||C|$$ $$\begin{vmatrix}O & A_{{m\times m}} \\B_{n\times n} & O\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}O & A \\B & C\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} D & A \\B & O\end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A| |B|$$ $$\begin{vmatrix}&&A\\&B\\C\end{vmatrix}=(-1)^{n_{1}n_{2}n_{3}}|A||B||C|$$

逆

$$\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&O\\O&B^{-1}\end{pmatrix}$$

当有一块不为零矩阵时，有口诀 左乘同行右乘同列，再添负号

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix}A&O\\C&B\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&O\\-B^{-1}CA^{-1}&B^{-1}\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}CB^{-1}\\O&B^{-1}\end{pmatrix} \end{aligned}$$

当分块阵在副对角线时，对角线元素都要对调，则有口诀 主不变，副对调，记得左乘同行右乘同列之后再对调

$$\begin{pmatrix}O&A\\B&O\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}O&B^{-1}\\A^{-1}&O\end{pmatrix}$$ $$\begin{aligned} \begin{pmatrix}C&A\\B&O\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}O&B^{-1}\\A^{-1}&-A^{-1}CB^{-1}\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}O&A\\B&C\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}-B^{-1}CA^{-1}&B^{-1}\\A^{-1}&O\end{pmatrix} \end{aligned}$$

伴随

$$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}^{*}=\begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix}\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}^{-1}$$

秩

见 此