随机变量的数字特征

数学期望和方差

离散型

$P\{X=x_{k}\},k=1,2\cdots$ 的数学期望为级数 $\sum_{k=1}^{+\infty}x_{k}p_{k}$ ，若该级数 绝对收敛，则称其为随机变量 $X$ 的 数学期望 或者均值，记作 $E(x)$ .

若存在函数 $g(x)$ 映射 $x_{k}$ ，则随机变量 $Y=g(X)$ 的数学期望为

E(Y)=E[g(X)]=\sum_{i=1}^n g(x)p_{i}

对于二维的随机变量

E(Z)=E[g(X,Y)]=\sum _{i=1}^n\sum_{j=1}^ng(x_{i},y_{j})p_{ij}

info

期望和方差都要求（级数、积分）绝对收敛。

若数学期望 $E\{[X-E(X)]^2\}$ 存在，则称其为 $X$ 的方差，记作 $D(X)$ ，即

D(X)=E\{[X-E(X)]^2\}

其开平方称为 标准差 或者 均方差，记作 $\sigma(X)$ .

caution

随机变量是常数可以推出方差为 0，但是方差为 0，不能推出随机变量为常数。

方差如下性质：

tip

这里如果不相互独立就是协方差了。

方差的计算公式

\begin{aligned} D(X)&= E\{[X-E(X)]^2\}\\ &=E\{X^2-2XE(X)+[E(X)]^2\}\\ &=E(X^2)-2E(X)E(X)+[E(X)]^2\\ &=E(X^2)-[E(X)]^2 \end{aligned}

连续型

E(X)=\int _{-\infty}^{+\infty}xf(x) \, dx

E(Y)=E[g(X)]=\int _{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x) \, dx

E(Z)=E[g(X,Y)]=\int _{-\infty}^{+\infty} \, \int _{-\infty}^{+\infty} \, g(x,y)f(x,y)dxdy

D(X)=\int [x-E(x)]^2 f(x) \, dx

对于随机变量 $X$ ，若

E(X^k),k=1,2,\cdots

存在，则称其为 $X$ 的 k 阶原点矩；

若

E\{[X-E(X)]^k\},k=1,2,\cdots

存在，则称其为 $X$ 的 k 阶中心矩。

对于两个随机变量 $X,Y$ ，若

E(X^kY^l),k,l=1,2,\cdots

存在，则称其为 $X,Y$ 的 k+l 阶混合矩；

若

E\{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l\},k,l=1,2,\cdots

存在，则称之为 $X, Y$ 的 k+l 阶混合中心矩。

协方差：对于随机变量 $X,Y$ ，若 $E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}$ 存在，则称之为 $X,Y$ 的协方差，记作 $Conv(X,Y)$ ，即

\begin{aligned} Cov(X,Y)&=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}\\ &=E(XY)-E(X)E(Y) \end{aligned}

则

Cov(X,X)=E(X^2)-[E(X)]^2=D(X)

协方差的一些性质：

相关系数：对于随机变量 $X,Y$ ，若 $D(X)D(Y)\neq 0$ ，则其相关系数为

\rho_{XY}= \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}\in[-1,1]

若相关系数为 $0$ ，则说明 X 和 Y 不相关，其正负表明了随机变量是正相关还是负相关。