函数

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大部分都学过，记一些需要注意的地方。

定义

对于任意的 $x\in X$ ，都有唯一的 $y\in Y$ ，使得 $<x,y>\in f$ ，则称 $f$ 是 $X$ 到 $Y$ 的函数、变换或映射，记作 $f:X\to Y$ ，其中 $X$ 被称为定义域， $Y$ 被称为配域， $f(X)$ 被称为值域；

关系矩阵每行有且仅有一个 1；没有 1 则说明 x 在 Y 中没有像（对应的 y）；多个 1 违反了唯一性。

$Y^X$ 定义为 $X\to Y$ 构成的所有的函数关系的集合 $\{f_{1},f_{2},\cdots,f_{n}\}$ ；

若值域只有一个元素，称为 常值函数；若是 $X\to X$ 的函数称为 恒等函数

两个函数相同就是定义域、陪域和对应关系相等。

若陪域中所有元素都被映射到，则称为满射，否则就是映内；若映射是一对一的，则是单射，即是满射又是单射，称为双射。

caution

恒等映射若是单射的，则其必是满射么？

答案

错误，如映射 $f (n)=2 n$ ，就不是满射

函数的复合表示与关系相反，因为为了 照顾数学习惯， $g(f(x))\to g\bullet f$

满足结合率；

若 $f,g$ 都是满/单/双射，则复合函数 $g\bullet f$ 都是满/单/双射。

若复合函数 $g\bullet f$ 都是满/单，则 $f,g$ 都是满/单，若前者是双射，则 $f$ 单射， $g$ 满射。

不是所有函数都存在逆函数，双射函数一定可逆。

若 $f: X\to Y, g: Y\to X$ ，若 $g\bullet f=I_{X},f\bullet=I_{Y}$ ，则 $g=f^{-1}$ 。

等势：两个集合间存在双射函数关系，则称为 等势关系，这是一个等价关系。

任何一个集合都必然属于且仅属于一个 基数类，记作 $K[A]$ ，对于有限集合， $K[A]=|A|$ .

可数集：与自然数集合等势，与有限集合统称为 至多可数集合

不可数集合，如 $(0,1)$ 的实数就是不可数集合，整个实数集合与 $(0,1)$ 间是等势的，利用双射函数 $\tan x$ 证明；不可数集合的并、笛卡尔积、与至多可数集相减，仍然和实数集合等势。

若存在 $A$ 到 $B$ 的单射函数，则必有 $K[A]\leq K[B]$ 。