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秩

矩阵乘的秩​

r(AB)≤min{r(A),r(B)}≤{r(A,B)orr(AB)≤r(A)+r(B)r(AB)\leq min\{r(A),r(B)\}\leq\left\{\begin{aligned} r(A,B)\\or\\ r\begin{pmatrix} A\\B \end{pmatrix} \end{aligned}\right.\leq r(A)+r(B)

矩阵乘的秩会越乘越小，但是拼起来会变大（可以取等号，不是严格的）。

若 AB=OAB=O ，则

r(A)+r(B)≤nr(A)+r(B)\leq n

这里的 nn 是中间的维度。

分块矩阵的秩​

tip

从初等变换的角度考虑最简单。

对于最简单的对角分块矩阵，其秩为

r(AOOB)=r(A)+r(B)r(OABO)=r(A)+r(B)\begin{aligned} r \begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}=r(A)+r(B)\\r \begin{pmatrix}O&A\\B&O\end{pmatrix}=r(A)+r(B) \end{aligned}

若只有一个零块，则相等关系变为大于等于关系

r(ACOB)≥r(A)+r(B)r(AOCB)≥r(A)+r(B)\begin{aligned} r \begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}\geq r(A)+r(B)\\r \begin{pmatrix}A&O\\C&B\end{pmatrix}\geq r(A)+r(B) \end{aligned}

如果 A,BA,B 可以消去 CC，则转换为第一种情况；消不掉则秩增加；若 AA 列满秩或 BB 行满秩，则 (AOCB)\begin{pmatrix}A&O\\C&B\end{pmatrix} 可以取得等号，对 (ACOB)\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}，请思考什么情况能取得等号？

Details

🤔 A 列满秩或 B 行满秩，为方阵时就是其中一个矩阵可逆。

伴随矩阵的秩​

伴随矩阵的秩序与原矩阵的秩有如下关系

r(A∗)={n, r(A)=n1, r(A)=n−10, r(A)<n−1r(A^*)=\begin{cases} n,\ r(A)=n\\1,\ r(A)=n-1\\0,\ r(A)<n-1 \end{cases}

当 r(A)=n−1r(A)=n-1 时，说明至少有一个 n−1n-1 阶子式不为 00，又因为 AA∗=0AA^*=0，根据矩阵相乘的性质 r(A)+r(A∗)≤1r(A)+r(A^*)\leq 1，则 r(A∗)=1r(A^*)=1；或者从方程组解的角度来说明，A∗A^* 的所有列向量都是齐次线性方程组的解，而 n−r(A)=1n-r(A)=1，则其基础解系只有一个向量，因此 r(A∗)=1r(A^*)=1.

秩与线性表示​

若 AA 可以由 BB 线性表示，则被表示的秩可以更小

r(A)≤r(B)r(A)=r(A,B)\begin{aligned} r(A)\leq r(B)\\ r(A)=r(A,B) \end{aligned}

若 AB=CAB=C，从列向量的角度看

r(A)=r(A,AB)r(A)=r(A,AB)

从行向量的角度看

r(B)=r(BAB)r(B)=r\begin{pmatrix} B\\AB \end{pmatrix}

具体看 矩阵乘法

n 秩相等​

22 秩表示矩阵等价，33 秩相等表示向量组等价和方程组同解 r(A)=r(B)=r(AB)r(A)=r(B)=r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix} ，44 秩相等常用于转置矩阵 r(A)=r(AT)=r(AAT)=r(ATA)r(A)=r(A^T)=r(AA^T)=r(A^TA)，可以证明 Ax=OAx=O 和 ATx=OA^Tx=O 同解，进一步地，可以推出 66 秩相等 r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)=r(ATAATA)=r(AATAAT)r(A)=r(A^T)=r(A^TA)=r(A A^T)=r(A^TA A^TA)=r(A A^TA A^T).

秩与方程组的解​

若 Ax=0Ax=0 的解均是 Bx=0Bx=0 的解，则 r(A)≥r(B)r(A)\geq r(B)；显然前者的解被包含在后者的解当中，即 n−r(A)≤n−r(B)→r(A)>r(B)n-r(A)\leq n-r(B)\to r(A)>r(B).

同样利用方程组可以解释矩阵乘法中 AB=O  ⟹  r(A)+r(B)≤nAB=O\implies r(A)+r(B)\leq n，证明方式和上述伴随矩阵一致，显然 BB 中的所有列向量是 Ax=OAx=O 的解，即 r(B)≤n−r(A)  ⟹  r(A)+r(B)≤nr(B)\leq n-r(A)\implies r(A)+r(B)\leq n.

行列满秩矩阵的性质​

若 Am×n,r(A)=nA_{m\times n},r(A)=n 则有以下角度的考虑：

  1. 秩：若 r(AB)=r(B)r(AB)=r(B)，则至少有一个 nn 阶子式不为零 （n+1n+1 阶都为零）；
  2. 向量：列向量线性无关，nn 个行向量线性无关；
  3. 方程：Ax=0Ax=0 仅有零解，Ax=bAx=b 可能无解，ATx=bA^Tx=b 一定有解；
  4. 空间：由于秩不超过行列的最小值，因此有 m≥nm\geq n，即维数大于等于向量个数；
  5. 变换：存在 nn 阶可逆矩阵 PP，使得 PA=(EnO)PA=\begin{pmatrix}E_{n}\\O\end{pmatrix}；
  6. 正定：ATAA^TA 为正定矩阵。

若 Am×n,r(A)=mA_{m\times n},r(A)=m 则有以下角度的考虑：

  1. 秩：若 r(BA)=r(B)r(BA)=r(B)，则至少有一个 mm 阶子式不为零 （m+1m+1 阶都为零）；
  2. 向量：行向量线性无关，mm 个列向量线性无关；
  3. 方程：Ax=bAx=b 一定有解，ATx=bA^Tx=b 仅有零解，ATx=bA^Tx=b 可能无解；
  4. 空间：由于秩不超过行列的最小值，因此有 n≥mn\geq m，即维数小于等于向量个数；
  5. 变换：存在 nn 阶可逆矩阵 PP，使得 AP=(En,O)AP=\begin{pmatrix}E_{n},O\end{pmatrix}；
  6. 正定：AATAA^T 为正定矩阵。