二次型

二次型、标准形和规范形

$n$ 个变量的一个二次齐次多项式为

$$\begin{align*} f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+2a_{13}x_{1}x_{3}+\cdots 2a{1n}x_{1}x_{n} \\ +a_{22}x_{2}^{2}+2a_{23}x_{2}x_{3}+\cdots+2a_{2n}x_{2}x_{n}\\ \vdots \\ +a_{nn}x_{n}^{2} \end{align*}$$

若令 $a_{ij}=a_{ji},i<j$，则 $2a_{ij}x_{i}x_{j}=a_{i}x_{i}+a_{j}x_{j}$，上式可以写为矩阵的形式

$$\begin{align*} f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})&=\sum_{i}^n\sum_{i}^na_{ij}x_{ij} \\ \\ &=[x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}]\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& \cdots & a_{{1n}} \\ a_{21}& a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots& \vdots& \ddots&\vdots\\a_{n1} &a_{n_{2}}& \cdots &a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\x_{n}\end{bmatrix} \\ &=x^TAx \end{align*}$$

其中 $A$ 为对称矩阵，成为二次型 $f$ 的对应矩阵。

note

当 $A$ 是对称阵时，二次型 $f=x^TAx$ 和 $A$ 一一对应。

info

若二次型只有平方项，没有混合项，则称其为 标准形 此时 $A$ 为对角阵。称 标准形 当中的正平方项的个数 $p$ 为 正惯性指数，负平方项的个数 $q$ 为 负惯性指数。

在 标准形 中，若平方项系数只有 $1,-1,0$，则称其为 规范形。

合同

caution

要求两方阵。

若存在 可逆矩阵 $C$，使得 $C^TAC=B$，则称 $A$ 合同于 $B$，记作 $A \simeq B$.

info

合同矩阵具有反身性、对称性和传递性，同秩。

tip

若 $A$ 是对称矩阵，$B^T=(C^TAC)T=C^TA^TC=B$，则 $B$ 也是对称矩阵。

tip

合同矩阵的几何意义就是对二次型进行了线性可逆的 坐标变换，常用于标准化二次型；对于一个函数，其坐标变换后的图像会发生变化，但是其类型不会变，如双曲线还是双曲线，只是发生了拉伸；那么有没有不改变图像的坐标变换呢？当过渡矩阵是一个 正交矩阵 即可。

如对于三元二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=x^TAx$，若

$$\begin{cases} x_{1}=c_{11}y_{1}+c_{12}y_{2}+c_{13}y_{3} \\ x_{2}=c_{21}y_{1}+c_{22}y_{2}+c_{23}y_{3} \\ x_{3}=c_{31}y_{1}+c_{32}y_{2}+c_{33}y_{3} \\ \end{cases} \tag1$$

满足

$$|C| = \begin{bmatrix} c_{11} &c_{12}&c_{13} \\ c_{21} &c_{22}&c_{23} \\ c_{31} &c_{32}&c_{33} \\ \end{bmatrix} \neq 0$$

则称 $(1)$ 是由 $x=(x_{1},x_{2},x_{3})^T$ 到 $y=(y_{1},y_{2},y_{3})^T$ 的 坐标变换 ，即 $x=Cy$.

caution

$x^TAx$ 经过 $x=Cy,r(C)=n$ 变换后满足 $y^TBy$，其中 $B=C^TAC$，即经过坐标变换后二次型矩阵 $A,B$ 是合同的。

正交变换法

对于任意一个 $n$ 元二次型 $f=x^TAx$，必定存在正交变换 $x=Qy$，$Q$ 为正交阵，化二次型为标准型，即

$$f=x^TAx\implies y^TQ^TAQy=\lambda_{1} y_{1}^{2}+\lambda_{2}y_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n}y_{n}^{2}$$

$\lambda_{i}$ 为其特征值。

info

以矩阵的语言描述，即对于任意一个实对称矩阵 $A$，必定存在正交阵 $Q$，使得 $Q ^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda$ （实对称矩阵的性质），其中 $\Lambda$ 为特征值组成的对角矩阵， $A$ 即相似又合同于对角阵。

正交阵的求法实际上就是对实对称矩阵 $A$ 进行相似对角化的过程，先求其特征值和特征向量，再进行正交化和单位化即可得到正交矩阵 $Q$.

配方法

任意 $n$ 元二次型 $f=x^TAx$，都可以通过（配方法）可逆线性变换 $x=Cy$，其中 $C$ 是可逆矩阵，化为标准型，即

$$f=x^TAx\implies y^TC^TACy=d_{1} y_{1}^{2}+d_{2}y_{2}^{2}+\cdots+d_{n}y_{n}^{2}$$

info

配方法即将关于 x 的多项式化为 x 的多项式的平方之和，再进行代换，思路为 $x_{1},\cdots x_{n}$ 逐个吸收，得到 $\{y_{n}\}$ 到 $\{x_{n}\}$ 的过渡矩阵，再求逆即可。

以矩阵的语言描述，即对于任意一个实对称矩阵 $A$，必定存在可逆阵 $C$，使得 $C^TAC=\Lambda$ ，其中 $\Lambda$ 为二次项系数组成的对角矩阵。

惯性定理

对于一个二次型 $x^TAx$ 经过坐标变换化为标准型，其正/负惯性指数都是唯一确定的；这是因为经过可逆线性变换，图像类型不发生改变，则平方项的符号也不变化。

可以得到二次型的秩是正负惯性指数之和。

正定二次型

对于任意的非零列向量 $x$ ，恒有

$$f=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^na_{ij}x_{i}x_{j}=x^TAx>0$$

则称二次型 $f$ 为 正定二次型 ，对应矩阵为 正定矩阵 .

info

可逆线性变换不改变二次型的正定性，一般来说，对二次型设法做可逆变换化为标准形/规范形，通过 $\Lambda$ 判断正定性。

$f$ 正定的充要条件

1. $A$ 的正惯性指数 $p=n$；
2. $A \simeq E$，即存在可逆矩阵使得 $C^TAC=E$；
3. $A=D^TD$，其中 $D$ 可逆；
4. $A$ 的全部特征值大于 0；
5. $A$ 的全部顺序主子式大于 0.

tip

顺序主子式是从矩阵左上角开始，从尺寸 1 开始取得的子矩阵的行列式，如

$$C= \begin{bmatrix} c_{11} &c_{12}&c_{13} \\ c_{21} &c_{22}&c_{23} \\ c_{31} &c_{32}&c_{33} \\ \end{bmatrix}$$

则顺序主子式有

$$\begin{align} &c_{11} \\ \\ &\begin{vmatrix} \ c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{vmatrix} \\ \\ &\begin{vmatrix} c_{11} &c_{12}&c_{13} \\ c_{21} &c_{22}&c_{23} \\ c_{31} &c_{32}&c_{33} \\ \end{vmatrix} \end{align}$$

$f$ 正定的必要条件

1. $A$ 的主对角元素都大于 0；
2. $A$ 的行列式大于 0.

伴随矩阵的正定性

$A$ 正定，则其必定可逆且对称，$A^T=A$，$(A ^{*})^T=(A^T)^{*}=A ^{*}$，$A ^{*}$ 为对称矩阵。

方法一

$A$ 可逆

$$x^TA ^{*}x\implies(Ay)^TA ^{*} (Ay)=y^TA ^{*}Ay=|A|y^TAy$$

而 $A$ 正定，则其也正定。

方法二

由 此 可得 $A ^{*}$ 的特征值为 $\frac{|A|}{\lambda}$，因为 $A$ 正定，则 $|A|>0,\lambda>0$，则 $\frac{|A|}{\lambda}>0$.