行列式

行列式的计算

除了所学的二阶三阶行列式计算方法，通用的计算方式是将高阶矩阵降为低阶，首先需要了解一下 逆序数

逆序数

如果存在一个大数排在小数前面，就是一个逆序，如对于序列 $652341$ 来说，其逆序数 $\tau(652341)$ 就是 $12$，包括了 $6$ 比后面的五个数都大，$5$ 比后面的四个数都大，$234$ 都比 $1$ 大，合计十二个。

行列式 是一个 算式，表示一个 数字，其结果是取自 不同行不同列 （即任意一个选中元素的相同行和列没有其他被选中元素）的 $n$ 个元素乘积的代数和，共有 $n!$ 项，符号由列标 （先将按照行进行顺序排列）的 逆序数 所决定，计算公式为

$$\sum(-1)^{\tau(j_{1}\cdots ji)}a_{1j_{i}}\cdots a_{nj_{n}}$$

性质

转置的行列式不变；

两行/列相等/成比例的行列式为 $0$；

行列式两行互换，结果反号；可以用代数余子式证明；

用 $k$ 乘以行列式相当于乘以行列式的某行/列；反过来如果有公因子可以提出来；同样可以用代数余子式证明；

行列式的某行/列元素均为两个数之和，则可以拆为两个行列式；

将行列式的某行/列的 $k$ 倍加到另一行/列上，结果不变；

若两矩阵相似，则行列式相同。

其他运算性质

$$\begin{aligned} |\lambda A|&=\lambda^n|A|\\|AB|&=|A| |B|\\|A^k|&=|A|^k\\ \end{aligned}$$

余子式和代数余式

tip

选中某个元素，删除其所在的行和列，剩下的元素相对位置不变而构成的 $n-1$ 阶行列式，成为 余子式；带符号的余子式称为 代数余子式，符号由所选中的元素位置确定 $-1^{i+j}$.

行列式的计算可以转换为对某一行/列的代数余子式及其对应选中元素乘积之和。

代数余子式的一个重要性质是 其只和位置有关，因此可以在计算中进行化简；如要计算某一行余子式之和，则只需要将对应行的元素按照正确的符号改为 $-1,1$ ，再求行列式即可，而不必单个计算；或是根据展开式推出某行元素。

代数余子式的另一个重要性质是其与其他行/列的元素对应乘积求和，所得结果一定为 $0$，这也是伴随矩阵和逆矩阵的由来。

另外一个很重要的应用就是如果某个位置余子式不为零，那么可以推出除了余子式所在行列的行/列向量线性无关，如对于一个三阶矩阵，

$$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}$$

其 $A_{12}$ 不为零

$$A_{12}=\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}\neq 0$$

则向量 $\{a_{21},a_{31}\}^T$ 与 $\{a_{23},a_{33}\}^T$ 线性无关，而对于其伸长组 $\{a_{11},a_{21},a_{31}\}^T$ 和 $\{a_{13},a_{23},a_{33}\}^T$ 也线性无关；那么那两个行向量线性无关呢？

Details

🤔

第二行和第三行所代表的行向量。

特殊矩阵的行列式

分块矩阵

$$\begin{vmatrix} A & O \\ O & B \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} A & C \\ O & B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A & O \\ D & B \end{vmatrix} =|A| |B|$$ $$\begin{vmatrix}O & A_{{m\times m}} \\B_{n\times n} & O\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}O & A \\B & C\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} D & A \\B & O\end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A| |B|$$

tip

这里之所以乘 $-1$ 是因为可以将副对角转换为主对角的形式，涉及到行列式的逐行/列互换。

逆矩阵

由公式

$$A^{-1}A=E\implies|A^{-1}A|=1\implies|A^{-1}|= \frac{1}{|A|}$$

伴随矩阵

$$A^*A=|A|E\implies|A^*| |A| = |A|^{n-1}$$

正定矩阵

若 $|A|=0$ ，则 $A^TA$ 是正定矩阵，否则为半正定矩阵。

行列式与线性方程组

若 $|A|\neq0$，则 $Ax=0$ 仅有零解，$Ax=b$ 有唯一解；

为 $|A|=0$，则 $Ax=0$ 有非零解，$Ax=b$ 无穷多解或无解。

行列式与特征值

若 $|A|=0$，则特征值一定不为 $0$，反之一定存在特征值为 $0$.

特殊形式的行列式

通用方法

尽可能地在某一个行/列创造 $0$，并在该行/列展开计算。

行/列和相等

其他行/列加到某一行/列的结果相同，可以提出公因子，再用通用方法计算。

爪形行列式

形如

$$\begin{vmatrix} a_1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & a_2 & & & \\ 1 & & a_3 & & \\ \vdots & & & \ddots & \\ 1 & & & & a_n \end{vmatrix}$$

的行列式（箭头可以朝向任意方向），通常需要构造一个三角行列式，可以使用中间的对角线元素消去某一个边，从而转换为三角行列式。

加边法

通常用于矩阵中每行/列中都有相同元素的情况，则可以额外添加一条边 （实际上是两条，因为要保证是方阵），将其消去转换为爪形行列式求解，如

$$\begin{vmatrix} a_1+1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 2 & a_2+2 & 2 & \cdots & 2 \\ 3 & 3 & a_3+3 & \cdots & 3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n & n & \cdots & a_n+n \end{vmatrix}\implies\begin{vmatrix} 1&0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1&a_1+1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 2&2 & a_2+2 & 2 & \cdots & 2 \\ 3&3 & 3 & a_3+3 & \cdots & 3 \\ \vdots&\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n&n & n & n & \cdots & a_n+n \end{vmatrix} \implies\begin{vmatrix} 1&-1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \\ 1&a_1 & & & & \\ 2& & a_2 & & & \\ 3& & & a_3 & & \\ \vdots& & & \ & & \\ n& & & & & a_n \end{vmatrix}$$

caution

可以额外加边的原因是因为加了这两条边之后行列式的值不变，如上例所示，加边后第一行其余元素都是 $0$，展开后的计算结果不变。

幺型行列式

形如

$$\begin{vmatrix} 2 & 0 & \cdots & 0&2 \\ - 1& 2 & \cdots & 0 &2\\ & -1 & \ddots & \vdots &\vdots\\ & & \ddots & 2 &2\\ & & & -1&2 \end{vmatrix}$$

即在三角矩阵的基础上，在超过界限的范围添加了一条副对角线。

求解此类型行列式多用递推的方式，如从第一列展开，可以展开为两个行列式之和，其中一个是同型的 $n-1$ 阶幺型行列式，而另一个则是一个三角矩阵，则可以根据此递推求解。

川型行列式

形如

$$\begin{vmatrix} 2a&1 \\ a^2&2a&1 \\ &a^2&2a&\ddots \\ &&\ddots&\ddots&1 \\ &&&a^2&2a \end{vmatrix}$$

同样是展开找递推关系，可以考虑先展开一行，如果关系不够明确，再在展开结果中展开一列，或者可以考虑使用 数学归纳法。

范德蒙行列式

形如

$$V_{n}=\begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1 \\x_{1}&x_{2}&\cdots&x_{n}\\x_{1}^2&x_{2}^2&\cdots&x_{n}^2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x^{n-1}_{1}&x_{2}^{n-1}&\cdots&x_{n}^{n-1} \end{vmatrix} =\Pi_{{n\geq i>j\geq 1}}(x_{i}-x_{j})$$

即所有后面的减去前面的，如对于 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$，结果即为

$$(x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})(x_{4}-x_{3})(x_{4}-x_{2})(x_{4}-x_{1})$$