线性方程组

基本概念

形如

$$\left\{ \begin{align*} a_{11}x_1 &+ a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 &+ a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ &\cdots \\ a_{m1}x_1 &+ a_{m2}x_2 + a_{m3}x_3 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \end{align*}\right. \tag1$$

的方程组被称为 非齐次线性方程组，其中有 $n$ 个未知数，$m$ 个方程，$b_{i}$ 是不全全为 $0$ 的常数。

通过矩阵乘法，可以将其表示为

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots& \vdots& \ddots&\vdots\\a_{m1} &a_{m2}& \cdots &a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\x_{n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\b_{m}\end{bmatrix}$$

也即

$$Ax=b$$

若常数项都为 $0$

$$\left\{ \begin{align*} a_{11}x_1 &+ a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + \ldots + a_{1n}x_n =0 \\ a_{21}x_1 &+ a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + \ldots + a_{2n}x_n =0 \\ &\cdots \\ a_{m1}x_1 &+ a_{m2}x_2 + a_{m3}x_3 + \ldots + a_{mn}x_n = 0 \end{align*}\right.\tag2$$

则称其为 齐次线性方程组，也称作非齐次线性方程组的 导出组，矩阵形式为

$$Ax=0$$

解方程组的一种方法是对方程组做 同解变换，即通过 初等行变化（只能是行变换）将方程组等价转换。

齐次线性方程组

info

齐次线性方程组一定有 零解（$x_{i}$ 全是 0）。

基础解系：齐次线性方程组所有 线性无关的 的非零解，满足该方程组所有解都可以由基础解析线性表出（解集的极大无关组，因此基础解系不唯一）。

解的性质：对于齐次线性方程组任意的解，其任意线性组合（这里的常数项可以全部为 $0$）仍然是其解。

齐次方程组 $A_{m\times n}x=0$ 有非零解 $\iff r(A)<n$ ，秩要小于未知量的个数，有另外两个推论：

1. 当 $m<n$，$Ax=0$ 必有非零解；
2. 当 $m=n$，$Ax=0$ 有非零解 $\iff|A|=0 \iff r(A)<n$.

第一种情况，方程个数小于未知量个数，此时方程为 欠定，其中有自由变量可以任意取值，有无穷多组解，因此一定有非零解。

第二种情况，方程个数等于未知量个数，要使其有非零解，可以转换为第一种情况，即系数向量线性相关，方程组可同解转换为欠定方程组，转换的方程形为 $0x_{1}+0x_{2}+\cdots+0x_{n}=0$，相当于直接消去。

若齐次线性方程组的系数 G 矩阵的秩 $r(A)=r<n$，则其有 $n-r$ 个线性无关的解，构成其基础解系。

同样地，此情况也可退化为欠定方程组，其自由变量的个数为 $n-r$ ，这是导致方程组无穷解的罪魁祸首，因此为了限制其自由，可将其作为一系列线性无关的基（做题中常用 $1$、$0$），其他未知量自然可以根据这些基解出。

caution

一般来说，基础解系通常取非主元列对应的变量，但是也可以由这些变量组成基础解系，能否组成基础解系，需要看这些列构成的 $r$ 阶子式是否满秩，若不满秩则不可组成基础解析。

自由变量

行简化后的非主元列。

通解：基础解系的任意线性组合（系数可以全部为 $0$）$k_{1}\eta_{1}+\cdots+k_{n}\eta_{n}$.

非齐次线性方程组

齐次非齐次的区别

齐次线性方程组求解的是是否存在解使得 系数列向量线性相关；

非齐次线性方程组求解的是是否存在解使得 系数列向量线性表出常数向量

解的性质：两解之差是 导出组 的解。

导出组的解 $\eta$ 和原方程一个特解 $\xi$ ，可以得到

$$\xi+k\eta$$

仍然是其解。

若非齐次线性方程有解，则 $r(A)=r(A,b)$ ，也即 $b$ 可由系数列向量线性表出，表出的系数就是一组解 $x_{i}$.

若其无解，则 $r(A)< r(A,b)\iff r(A)+1=r(A,b)$.

解的结构：通过导出组的基础解析 $\eta_{1},\cdots,\eta_{n}$ 和一个特解 $\xi$ 可以得到非齐次线性方程组的通解：

$$\xi+k_{1}\eta_{1}+\cdots+k_{n}\eta_{n}$$

解的组合

若有非齐次线性方程组的一些特解 $\xi_{1},\cdots,\xi_{n}, n\geq 1$，其线性组合

$$k_{1}\xi_{1}+\cdots+k_{n}\xi_{n}$$

满足 $\sum_{i=1}^nk_{i}=1$，则其该线性组合仍然是该非齐次方程组的特解。

若 $\sum_{i=1}^nk_{i}=0$ ，在其是对应 导出组 的解。

公共解

给定两个方程组

联立求解即可，若遇到求参数的问题，可以先另主元的位置不等于 $0$，再逐个讨论。

给定基础解系

不论是给一个基础解系还是两个基础解系，都可以转为两个基础解系的情况。

令两个方程组的通解相等，可以得到对应的约束关系，再求由基础解析作为系数构成的线性方程组的解，若系数矩阵满秩，则只有零公共解。

同解

两个方程组的解一样，表示可以将系数矩阵转换为相同的形式；对于 $n$ 元方程组 $Ax=0,Bx=0$，若 $Ax=0$ 的解都是 $Bx=0$ 的解，可以推出 $r(A)\geq r(B)$；其与下列等价

$$r(A)=r \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}$$

tip

这实际上说明方程组 $\left\{\begin{aligned}Ax=0\\Bx=0\end{aligned}\right.$ 的解和 $Ax=0$ 的解是相同的；三秩相同 $r(A)=r(B)=r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}$ 与 $Ax=0,Bx=0$ 同解等价，对于非齐次方程组则是 $r(A)=r(B)=r\begin{pmatrix}A&a\\B&b\end{pmatrix}$

若 $A$ 是 $n$ 阶方阵，则 $A^nx=0$ 与 $A^{n+1}x=0$ 是同解的。