向量

概念

概念

向量是一些数组成的有序数组，每个元素被称为向量的 分量，向量可分为 行向量 和 列向量，若干个相同维度的向量集合被称为 向量组 .

部分组：向量组中向量的顺序子集。

整体组：相对于部分组来说，原向量组就是整体组。

延伸组：向量组中向量的延伸，每个向量都额外添加了相同数量的元素。

缩短组：向量组中向量的缩短，每个向量都减少了相同数量的元素。

caution

部分组、整体组都是相对于向量来说的，而延伸组、缩短组是相对于向量中的元素而言。

线性表出、线性相关

线性相关

线性相关的概念在很多地方都会用到，可以描述为存在非零系数（不全为零） $k_{1},k_{2}\cdots k_{n}$ 使得 $k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}+\cdots +k_{n}x_{n}=0$ 成立，这里的 $x_{i}$ 表示向量，则称其 线性相关，否则称为 线性无关，等式左边被称为 线性组合。

线性方程组

若 $\beta$ 可以由向量组 $x_{1},x_{2}\cdots x_{n}$ 唯一线性表出，则有以下等价表达：

1. 线性组合：$k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}+\cdots +k_{n}x_{n}$；
2. 线性方程组的解：$\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & a_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n \end{bmatrix}=\beta$，这里的 $k_{i}$ 就是上一点中的 $k_{i}$；
3. 秩：$r(x_{1},x_{2}\cdots x_{n})=r(x_{1},x_{2}\cdots x_{n}, \beta)$，因为 $\beta$ 可以被线性表出，因此其不影响秩。

若该向量组线性无关，则 $\beta$ 可被 唯一 线性表出。

若向量组 $x_{1},x_{2}\cdots x_{n}$ 线性相关，则以其为系数的 齐次线性方程组 有非零解，因为其秩为 $0$.

齐次线性方程组

常数项都为 $0$ 的线性方程组，而不是未知量次数都一样。

部分组

若部分组相关，则整体组一定相关；整体组无关，则部分组一定无关，反之都不成立。

前者因为部分组已经相关了，无论添加的向量能否由原向量组线性表出都无所谓了。

后者是包含关系，部分组自然不存在相关。

向量空间

更多留在向量空间中讨论。

任意 $n+1$ 个 $n$ 维向量必定线性相关。

考虑熟悉的情况：若其中 $n$ 个向量线性相关，则 $n+1$ 个也一定相关；若其线性无关，这 $n$ 个向量构成了 $n$ 维空间中的一组基，自然可以表示任意一个 n 维度向量。

延伸组/缩短组

若某向量组无关，则其延伸组也线性无关；向量组相关，则其缩短组线性相关，反之都不成立。

从定义的角度考虑，要求每一行元素线性组合的结果全为 0，而向量组无关，即使延伸的元素无关，也存在不为 $0$ 的行；对于后者同理。

从线性方程组的角度考虑，前者代表的齐次线性方程只有零解，其延伸组相当于增加了方程的个数，而未知量数目不变（当作列向量来看），其仍然只有零解。

向量组

存在两个向量组 $a_{1},a_{2}\cdots a_{s}$ 和 $b_{1},b_{2}\cdots,b_{t}$，若 $b_{i}$ 都可以由前者线性表出，且 $t>s$，则后者线性相关；若 $b_{i}$ 均由有前者线性表出，但是后者线性无关，则一定有 $t\leq s$.

根据定义

$$k_{1i}a_{1}+k_{2i}a_{2}+\cdots+k_{si}a_{s}=b_{i},\ \ i\in[1, t]$$

对于后者：

$$\begin{aligned} &c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2}+\cdots c_{t}b_{t}=0 \\ \implies& c_{1}(k_{11}a_{1}+k_{21}a_{2}+\cdots+k_{s1}a_{s})+ \\\cdots+&c_{t}(k_{1t}a_{1}+k_{2t}a_{2}+\cdots+k_{st}a_{s})=0 \\ \implies& (c_{1}k_{11}+\cdots+c_{t}k_{1t})a_{1}+\\ \cdots+&(c_{1}k_{s1}+\cdots+c_{t}k_{st})a_{s}=0 \end{aligned}$$

向量组 $a_{1},a_{2}\cdots a_{s}$ 线性无关，要使上式成立，只有系数全部为 $0$，由于其中 $k_{ij}$ 不全为 $0$，因此存在 $c_{i}\neq 0$ ，即 $b_{i}$ 线性相关。

warning

这样证明好像和 $t>s$ 没什么关系…. 之后再看。

其他推论

若向量组线性相关，则增加向量个数（根据线性相关定义，只需让增加的向量前系数为 $0$ 即可），或者缩短向量长度（因为相关是所有维度相关）都是线性相关的。

若向量组线性无关，则部分向量一定无关，延长向量一定无关（因为相关要所有维度相关）。

向量组的秩

极大无关组

向量组中线性无关的 部分组，且加入任一其余向量，都线性相关。

秩就是极大无关组中向量的个数。

极大无关组一般不唯一，但是其数量是一定的。

等价向量组：两个向量组直接可以相互线性表出（向量组中的任意一个向量）。因此向量组和它的极大无关组是等价向量组。

caution

但是极大无关组的等价向量组不一定是极大无关组，极大无关组要求数量最小。

向量组等价和矩阵等价是不同的概念，向量组等价是可以相互线性表示，因此向量个数不同的情况下可能等价，而矩阵等价则是可能通过有限次初等变换为相同的矩阵，因此形状必须相同。

向量组等价的条件更强，要求三秩相等，即 $r(A)=r(B)=r(A,B)$，即矩阵等价不能推出向量组等价，但是向量组可以推出矩阵等价。

若向量组 $a_{i}$ 可以由向量组 $b_{i}$ 线性表出，则 $r(a_{i})\leq r(b_{i})$，低维度的基只能表示出同维或低维的向量；若向量组等价，$r(a_{i})=r(b_{i})$.

矩阵的秩

子式

在矩阵中任取 $k$ 行 $k$ 列，则称的 $k$ 阶行列式，被称为 $k$ 阶子式。

矩阵的秩

$r$ 阶子式不为 $0$，$r$ 阶以上子式都为 0，则秩为 $r$.

经过初等变换的矩阵秩不变。

秩有以下公式：

$$r(A) = r(A^T);r(A^TA)=r(A)$$

后者得到一个对阵矩阵。

$$r(A+B)\leq r(A)+r(B)$$ $$\begin{equation*} \begin{gathered} r(AB)\leq min(r(A),r(B)) \\max(r(A),r(B))\leq r(A,B)\leq r(A)+r(B) \end{gathered} \end{equation*}$$

$(A,B)$ 表示增广矩阵。

若 $A$ 可逆，则

$$r(AB)=r(BA)=r(B)$$

若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times s$ 矩阵，$AB=\mathrm{O}$，则

$$r(A)+r(B)\leq n$$

分块矩阵 $r\left( \begin{array}{cc} A & O \\ O & B \end{array} \right)=r(A)+r(B)$

内积

定义

$(\alpha,\beta)=\alpha^T\beta=\beta^T\alpha=\sum_{i=1}^na_ib_i$

内积具有以下性质：

1. 对称性：$(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)$
2. 线性性：$\lambda(\alpha, \beta)=(\lambda\alpha,\beta)=(\alpha,\lambda\beta)$
3. 线性性：$(\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma)$
4. 正定性：$(\alpha,\alpha)\geq 0$，等号当且仅当 $\alpha=0$ 成立