逆矩阵求解

什么是逆矩阵

假设 $A$ 是一个 n 阶方阵，若存在另一个 n 阶方阵 $B$，令 $AB=BA=E$，则称矩阵 $A$ 可逆，$B$ 为逆矩阵，可以记作 $B^{-1}$.

如同加法和减法、乘法和除法的关系，逆矩阵即表示一个矩阵线性变换的逆变换，这就要求该线性变换是可逆的——即 满秩 .

满秩矩阵所代表的线性变换意味着变换空间仍然是当前维度的线性空间，而不会将向量变换到更低维的空间上去。当变换使得向量坍缩到更低维的空间上时，我们便永远失去了其在高维上的信息，相同维度的线性变换是一一对应的，这保证了 逆矩阵的唯一性 ，不同不满秩的矩阵所代表的变换可以将不同的向量映射到低维空间，而要从低维空间映射回高维空间对应的映射是无穷的，因此我们无法给出不满秩矩阵的逆矩阵。

如何求解逆矩阵

下面给出两个常用方法

高斯消元法

即将原矩阵以 增广矩阵 的形式将单位矩阵放在右边，再通过初等行变换将左侧的矩阵变换为单位矩阵，则此时右侧的矩阵即为所求逆矩阵。

从几何意义来说，该方法意味着将原矩阵所代表的线性变换一步一步的变换回去，于是就将单位矩阵映射到了逆矩阵。

伴随矩阵法

首先考虑一种简单的情况，对于对角矩阵 $A$ 来说：

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$$

其逆矩阵即为：

$$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac1{a_{11}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \frac1a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \frac1a_{mn} \end{bmatrix}$$

那么是否存在一种线性变换可以将目标矩阵变换为对角矩阵呢？

这里引入了伴随矩阵：

$$A^* = \begin{bmatrix} A_{11} & -A_{12} & \cdots & (-1)^{1+n}A_{1n} \\ -A_{21} & A_{22} & \cdots & (-1)^{2+n}A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (-1)^{n+1}A_{n1} & (-1)^{n+2}A_{n2} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix}^\mathrm{T}$$

caution

此处有转置

由伴随矩阵的性质，某行/列元素乘另外的行/列的代数余子式之和为 0，我们可以将伴随矩阵与原矩阵进行矩阵乘法，则只有对角线的元素会保留下来：

$$A^*A = AA^* = \begin{bmatrix} |A| & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & |A| & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & |A| \end{bmatrix}$$

其中 $|A|$ 为其行列式，结合最开始的求解，即可得到公式：

$$A^*A = AA^* = |A|A^{-1}$$