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双元积分法

前言​

参考： https://zhuanlan.zhihu.com/p/443599480

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不定积分方法本质上只有一种，就是凑微分。所谓的换元都是为了 方便 凑微分。从更方便这个角度来看，双元法的确比一些方法更简洁；双元法其实并不是一个独立的方法，它既可以看成三角换元的推广，也可以看成组合积分法的拓展，也是一种特殊的凑微分。

双元法会降低你的思考消耗，在你还没到达“注意到”之神的水平时，给予 对称性的提示与结构的简明。

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下面的教程中的不定积分不会添加任何的 CC.

双元符号​

什么是双元符号

基于 双元平等 的前提，即被积函数和积分函数平等，形如

∫pdq\int pdq

而不是

∫f(x) dx\int f(x) \, dx

将 f(x)f(x) 视为主导。

最常见的一个 双元 为

pdq+qdp=d(pq)pdq+qdp=d(pq)

令 p=f(x),q=xp=f(x),q=x，则可以得到一个很眼熟的式子

f(x)dx+xdf(x)=f(x)dx+xf′(x)dx=d(xf(x))f(x)dx+xdf(x)=f(x)dx+xf'(x)dx=d(xf(x))

因此双元的显著特点就是：具备一定的“对称性”，且其结构突出，因此只有满足这些要求的才能使用双元积分法。

双元类型​

三角型双元​

最普通的双元，一般说的双元就是这一对

x2±y2=C  ⟺  xdx±ydy=0(1)x^2\pm y^2=C\iff xdx\pm ydy=0 \tag1

若 x,yx,y 都是关于 tt 的函数，则

2x(t)x′(t)+2y(t)y′(t)=0  ⟹  xdx+ydy=02x(t)x'(t) + 2y(t)y'(t)=0\implies xdx+ydy=0

一个最简单的使用技巧（当然没有这个必要）是求解 (1+x2)′(\sqrt{ 1+x^2 })'，基本方法是使用符合函数求导法则；可以令 y=1+x2y=\sqrt{ 1+x^2 }，则 y2−x2=1y^2-x^2=1，符合上述双元的特征，则

xdx=ydy  ⟺  d(1+x2)dx=dydx=xy=x1+x2xdx=ydy\iff \frac{d(\sqrt{ 1+x^2 })}{dx}=\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}=\frac{x}{\sqrt{ 1+x^2 }}
实圆和虚圆

式 (1)(1) 中符号为正时，则称其为 实圆，记作 ReRe；若为负，则为 虚圆，记作 ImIm. {cos⁡x,sin⁡x}\{\cos x, \sin x\} 就是一对实圆双元。

合分比性质

向糖水中加入/减少相同浓度的糖水浓度不变，对于虚圆，我们有 dxy=dyx\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}，可以进一步推广

dxy=dyx=dx±dyy±x=d(x±y)x±y\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}=\frac{dx\pm dy}{y\pm x}=\frac{d(x\pm y)}{x\pm y}

对等式上下同乘 x，yx，y 可以得到：

dxy=dyx=ydxy2=xdyx2  ⟺  dxy=ydx−xdyy2−x2\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}=\frac{ydx}{y^2}=\frac{xdy}{x^2}\iff \frac{dx}{y}=\frac{ydx-xdy}{y^2-x^2}

同理，对于实圆有：

dxy=dx−dyy+x=ydx−xdyy2+x2\frac{dx}{y}=\frac{dx-dy}{y+x}= \frac{ydx-xdy}{y^2+x^2}

第一公式​

[Im]∫dxy=∫dx+dyy+x=∫d(x+y)x+y=ln⁡∣x+y∣[Re]∫dxy=∫ydx−xdyx2+y2=∫y2x2+y2d(xy)=∫ d(x/y)1+x2/y2=arctan⁡xy\begin{aligned} &[Im]\int \frac{dx}{y}=\int \frac{dx+dy}{y+x}=\int \frac{d(x+y)}{x+y}=\ln|x+y|\\ &[Re]\int \frac{dx}{y}=\int \frac{ydx-xdy}{x^2+y^2}=\int \frac{y^2}{x^2+y^2}d\left( \frac{x}{y} \right)=\int \, \frac{d(x/y)}{1+x^2/y^2}=\arctan \frac{x}{y} \end{aligned}

总结一下就是

∫dxy={ln⁡∣x+y∣  [Im]arctan⁡xy  [Re](2)\int \frac{dx}{y}=\begin{cases} \ln|x+y|\ \ [Im] \\ \\ \arctan \frac{x}{y}\ \ [Re] \end{cases} \tag2

小练一下

∫d(sin⁡x)a2−sin⁡2x\int \frac{d(\sin x)}{\sqrt{ a^2-\sin^2 x }} ∫d(x2023)4+x4046\int \frac{d(x^{2023})}{\sqrt{ 4+x^{4046} }} ∫121+xarctan⁡1+x1−x dx\int \frac{1}{2\sqrt{ 1+x }}\arctan \sqrt{ \frac{1+x}{1-x} } \, dx

这一题需要先凑微分、再分布积分，逆用第一公式即可。

第三公式​

讨论 ∫dxy3\int \frac{dx}{y^3} ，对于虚元，有以下公式

∫dxy3=∫1y2dxy=1y2−x2∫y dx−x dyy2=1y2−x2∫d(xy)=1y2−x2xy\begin{aligned} \int \frac{dx}{y^3}&=\int \frac{1}{y^2} \frac{dx}{y}\\&=\frac{1}{y^2-x^2}\int \frac{y\ dx-x\ dy}{y^2}\\&=\frac{1}{y^2-x^2}\int d \left( \frac{x}y{} \right)\\&=\frac{1}{y^2-x^2} \frac{x}{y} \end{aligned}

对于实圆：

∫dxy3=∫1y2dxy=1y2+x2∫y dx−x dyy2=1y2+x2∫d(xy)=1y2+x2xy\begin{aligned} \int \frac{dx}{y^3}&=\int \frac{1}{y^2} \frac{dx}{y}\\&=\frac{1}{y^2+x^2}\int \frac{y\ dx-x\ dy}{y^2}\\&=\frac{1}{y^2+x^2}\int d \left( \frac{x}y{} \right)\\&=\frac{1}{y^2+x^2} \frac{x}{y} \end{aligned}

总结一下就是

∫dxy3={1y2−x2xy  [Im]1y2+x2xy  [Re](2)\int \frac{dx}{y^3}=\left\{\begin{aligned} \frac{1}{y^2-x^2} \frac{x}{y}\ \ [Im] \\ \\ \frac{1}{y^2+x^2} \frac{x}{y}\ \ [Re] \end{aligned}\right. \tag2
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注意这里的 y2−x2,y2+x2y^2-x^2,y^2+x^2 实际上是等于常数，也就是不需要区分符号了。

小练一下

∫d(sin⁡x)(a2−sin⁡2x)3=1a2sin⁡xa2−sin⁡2x\int \frac{d(\sin x)}{\sqrt{ (a^2-\sin^2x)^3 }}=\frac{1}{a^2} \frac{\sin x}{\sqrt{ a^2-\sin^2x }} ∫d(x2023)(4+x4046)3=14x20234+x4046\int \frac{d(x^2023)}{\sqrt{ (4+x^{4046})^3 }}=\frac{1}{4} \frac{x^{2023}}{\sqrt{ 4+x^{4046} }}

补充公式​

∫y dx=12∫y dx+x dy+12∫y dx−x dy=12yx+y2±x22∫y dx−x dyy2±x2=12yx+y2±x22∫dxy\begin{aligned} \int y \, dx &=\frac{1}{2}\int y \, dx +x\ dy+\frac{1}{2}\int y \, dx -x\ dy\\&=\frac{1}{2}yx+\frac{y^2\pm x^2}{2}\int \frac{y\ dx-x\ dy}{y^2\pm x^2} \\ &=\frac{1}{2}yx+ \frac{y^2\pm x^2}{2} \int \frac{dx}{y} \end{aligned}

最平凡的双元​

x,y={x2+a2 [Im]a2−x2 [Re]x2−a2 [Im]x,y=\left\{\begin{aligned} \sqrt{ x^2+a^2 }\ [Im] \\ \sqrt{ a^2-x^2 }\ [Re] \\ \sqrt{ x^2-a^2 }\ [Im] \end{aligned} \right.

起手式​