Skip to main content

空间解析几何

空间平面与直线​

平面方程​

一般式：

Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0

其法向量即为 n=(A,B,C)n=(A,B,C).

点法式：通过一个点和法向量确定

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0
info

通过 原点 和法向量确定的平面经过一定的平移便可以得到任意一个平面，这也是一般式的一种直观解释。

截距式：通过在坐标轴上的截距确定

xa+yb+zc=1\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1

法向量就是 (1a,1b,1c)\left( \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \right).

直线方程​

一般式：通过两个平面的交线确定

{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0\left\{\begin{aligned} A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0 \end{aligned}\right.
平面束

通过一般式，可以得到过直线的几乎所有平面的方程，定义如下：

A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}+\lambda(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})=0

这里会漏解一个 A2x+B2y+C2z+D2=0A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0 这个平面本身，需要单独验证。

对称式

x−x0l=y−y0m=z−z0n\frac{x-x_{0}}{l}= \frac{y-y_{0}}{m}= \frac{z-z_{0}}{n}

其方向向量为 (l,m,n)(l,m,n)

参数式

x=x0+lt,y=y0+mt,z=z0+ntx=x_{0}+lt,y=y_{0}+mt,z=z_{0}+nt

点到面的距离

点 (x0,y0,z0)(x_{0},y_{0},z_{0}) 到平面 Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0 的距离为

d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d= \frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{\sqrt{ A^2+B^2+C^2 }}

点到直线的距离

点 (x0,y0,z0)(x_{0},y_{0},z_{0}) 到直线 x−x1l=y−y1m=z−z1n\frac{x-x_{1}}{l}=\frac{y-y_{1}}{m}=\frac{z-z_{1}}{n} 的距离为

d=∣(x1−x0,y1−y0,z1−z0)×(l,m,n)l2+m2+n2d=\frac{|(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0},z_{1}-z_{0})\times(l,m,n)}{\sqrt{ l^2+m^2+n^2 }}

曲面和空间曲线​

曲面方程一般用 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 或 z=f(x,y)z=f(x,y) 表示。

空间曲线一般有两种表示方法，参数式和一般式

{x=x(t)y=y(t)z=z(t)\left\{ \begin{aligned} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{aligned} \right.

一般式

{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0\left\{ \begin{aligned} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{aligned} \right.

常见曲面​

旋转面：一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成的曲面，假设平面曲线方程为

{f(y,z)=0x=0\begin{cases} f(y,z)=0\\ \\ x=0 \end{cases}

若其绕着 yy 轴旋转，则旋转面方程为 f(y,±x2+z2)=0f(y,\pm \sqrt{ x^2+z^2 })=0，实际上就是由 x,zx,z 轴方向的分量组合表示原来的 zz.

同理，绕着 zz 轴旋转，则旋转面方程为 f(±y2+x2,z)=0f(\pm \sqrt{ y^2+x^2 }, z)=0.

柱面：平行于定直线并沿定曲线（准线）移动的直线所形成的轨迹。

二次曲面：

椭圆锥面：x2a2+y2b2=z2\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=z^2，特别地：圆锥面 x2+y2=z2x^2+y^2=z^2

椭球面：x2a2+y2b2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1，特别地：球面 x2+y2+z2=R2x^2+y^2+z^2=R^2

单叶双曲面：x2a2+y2b2−z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1

双叶双曲面：x2a2−y2b2−z2c2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1

椭圆抛物面：x2a2+y2b2=z\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z，特别地：旋转抛物面 z=x2+y2z=x^2+y^2

双曲抛物面（马鞍面）：x2a2−y2b2=z\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z.

多元函数微分在几何上的应用​

曲面的切平面与法线​

曲面 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0，法向量 n=(Fx′,Fy′,Fz′)n=(F'_{x},F'_{y},F'_{{z}})

曲面 z=f(x,y)z=f(x,y)，法向量 n=(fx′,fy′,−1)n=(f'_{x},f'_{y},-1)

曲线的切线和法平面​

曲线 {x=x(t)y=y(t)z=z(t)\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t) \end{cases}，切向量 τ=(x′(t0),y′(t0),z′(t0))\tau=(x'(t_0),y'(t_{0}),z'(t_{0})).

曲线 {F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0\begin{cases} F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}，切向量 τ=n1×n2\tau=n_{1}\times n_{2}，为两个平面法向量的叉乘。