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多元函数微分学

多元函数的极限与连续​

二元函数重极限

函数 f(x,y)f(x,y) 在开区域（或闭区域）DD 内有定义，P0(xo,y0)P_{0}(x_{o},y_{0}) 是 DD 的内点或边界点，对于任意给定的 ϵ>0\epsilon>0，都存在 ξ>0\xi>0 ，使得对适合不等式

0<(x−x0)2+(y−y0)2<ξ0<\sqrt{(x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2 }<\xi

的一切 P(x,y)∈DP(x,y)\in D，都有 ∣f(x,y)−A∣<ϵ|f(x,y)-A|<\epsilon，则称 AA 为 f(x,y)f(x,y) 当 x→x0,y→y0x\to x_{0},y\to y_{0} 的极限，记作 lim⁡x→x0,y→y0f(x,y)=A\lim_{ x\to x_{0},y\to y_{0} }f(x,y)=A.

实际上这段定义是在说定义域 DD 中的点 P(x,y)P(x,y) 以任意方式趋近于点 P0(x0,y0)P_{0}(x_{0},y_{0}) 时，函数 f(x,y)f(x,y) 都趋近于同一个常数，反之，要想证明重极限不存在，则可以找出两种不同的路径，使得极限值不相同，或者某一条路径中极限不存在。

在重极限的定义上，若 lim⁡x→x0,y→y0f(x,y)=f(x0,y0)\lim_{ x\to x_{0},y\to y_{0} }f(x,y)=f(x_{0}, y_{0})，则称函数在该点连续。

更多元函数的极限和连续定义与二元函数的类似，并且他们的性质都和一元函数类似：

  1. 连续函数的和、差（分母不为 00）、商、积和复合函数都是连续函数；
  2. 有界闭区域上的连续函数有最值；
  3. 有界闭区域上的连续函数可以取到最值之间的任意数；
  4. 一切多元初等函数在其定义域内处处连续。

多元函数微分​

偏导数

对于函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在 (x0,y0)(x_{0},y_{0}) 内有定义，若

lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx\lim_{\Delta x\to_{0}} \frac{f(x_{0}+\Delta x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{\Delta x}

存在，则此极限称为 zz 在点 (x0,y0)(x_{0},y_{0}) 处对 xx 的偏导数，记作 fx′(x0,y0)f'_{x}(x_{0},y_{0}) 或 ∂f(x0,y0)∂x\frac{\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial x}.

其几何意义是表示曲面上切线对 xx 轴的斜率。

全微分

若全增量 Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) 可以表示为 Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)，其中 A,BA,B 为不依赖于 Δx,Δy\Delta x,\Delta y 而仅与 x,yx,y 有关，ρ=(Δx)2+(Δy)2\rho=\sqrt{ (\Delta x)^2+(\Delta y)^2 } ，则称函数 zz 在该点可微，其中 AΔx+BΔyA\Delta x+B\Delta y 称为 全微分。

其中 A,BA,B 分别为对 x,yx,y 的偏导。

要证明某函数有可微，需要凑出上述形式，或是其等价形式，如

lim⁡Δx→0,Δy→0[f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)]−(AΔx+BΔy)(Δx)2+(Δy)2=0\lim_{ \Delta x \to 0,\Delta y\to 0 } \frac{[f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x,y)]-(A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt{ (\Delta x)^2+(\Delta y)^2 }}=0

或

lim⁡Δx→x0,Δy→y0[f(x,y)−f(x0,y0)]−[A(x−x0)x+B(y−y0)](x−x0)2+(y−y0)2=0\lim_{ \Delta x \to x_0,\Delta y\to y_{0} } \frac{[f(x, y)-f(x_{0},y_{0})]-[A(x-x_{0}) x+B(y-y_{0})]}{\sqrt{ (x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2 }}=0

证明可微时，可以使用微分中值定理 （拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。 ），如

f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0+Δx,y0)=fy′(x0+Δx,y0+θΔy)Δyf(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-f(x_{0}+\Delta x,y_{0}) = f'_{y}(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\theta \Delta y)\Delta y

这里的 θ∈(0,1)\theta\in(0,1).

偏导数的定义也可以在右侧加上一个高阶无穷小，进行变形使用，如

fx′(x0,y0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx+αf'_{x}(x_{0},y_{0}) = \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(x_{0}+\Delta x,y_{0}) - f(x_{0}, y_{0})}{\Delta x} + \alpha

如果函数在某点可微分，那么该函数在该点的所有偏导数都必定存在（必要条件）。

如果函数的偏导数在某点连续，那么函数在该点可微（充分条件）。

连续、可导、可微的关系

对于一元函数来说，可导等价于可微，并且一定可能推出连续，而连续和可导可微没有任何关系；若其导函数连续，则同样可以推出其可导和可微。

对于二元函数，可微只能能推出连续和一阶偏导数都存在，反之则不行；其一阶偏导数连续，可以推出可微；而一阶偏导数都存在和连续没有关系。

note

多元的可导（一阶偏导数都存在）不能像一元函数一样推出连续和可微，是因为其指的是一阶偏导存在，而偏导是用一元函数极限定义的，因此其是在坐标轴的方向上趋于某点；而连续和可微是通过重极限所定义，允许以 任意方向趋向点。

复合函数的偏导数与全微分​

多元函数和一元函数的复合

若两函数 u=ϕ(t),v=σ(t)u=\phi(t),v=\sigma(t) 都在某一点可导，并且其复合函数 z=f(u,v)z=f(u,v) 在对应点有连续的一阶偏导数，则复合函数在该点可导，且

dzdt=∂z∂u∂u∂t+∂z∂v∂v∂t\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial t}+ \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial t}

该复合函数实际上可以看作是对 tt 的一元函数，这里的 dzdt\frac{dz}{dt} 被称为 全导数。

多元函数和多元函数的复合

若两函数 u=ϕ(x,y),v=σ(x,y)u=\phi(x,y),v=\sigma(x,y) 都在某一点有偏导数，其复合函数在对应点有连续一阶偏导数，则复合函数在该点有对 x,yx,y 的偏导数，且

dzdx=∂f∂u∂u∂x+∂f∂v∂v∂x\frac{dz}{dx}=\frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}+ \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}dzdy=∂f∂u∂u∂y+∂f∂v∂v∂y\frac{dz}{dy}=\frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y}+ \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}

全微分形式不变性：通过不同的微分路径最终得到的结果是相同的。

高阶偏导数：正如其名，指的是不断求偏导，并且由全微分形式不变性，先对哪个变量求偏导都无所谓。

隐函数的偏导数与全微分

由一个方程确定的隐函数（一元函数），其有连续一阶偏导数，并且 Fy′≠0F'_y\neq 0，则有方程 F(x,y)=0F(x,y)=0 所确定的函数 y=y(x)y=y(x) 可导，且

dydx=−Fx′Fy′\frac{dy}{dx}=- \frac{F'_{x}}{F'_{y}}
隐函数存在定理

要确定某个隐函数是否存在，则上式一定要成立，即分母不能为 00，如 Fy′=0F'_{y}=0，则不存在隐函数 y=f(x)y=f(x).

推到方法很简单，同时对等式两边求偏导，再化简得到的结果即可

∂F∂x+∂F∂ydydx=0Fx′+Fy′dydx=0\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x}+ \frac{\partial F}{\partial y} \frac{d y}{d x}=0\\ F'_{x}+F'_{y} \frac{dy}{dx}=0 \end{aligned}
caution

注意这里的 dydx\frac{dy}{dx}，是因为其实一元函数，如果是多元函数则需要使用对应的偏导算符 ∂\partial.

对于二元隐函数 F(z,x,y)=0F(z,x,y)=0，形式是类似的

∂z∂x=−Fx′Fz′\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}=- \frac{F_{x}'}{F'_{z}} \end{aligned}

由方程组 {F(x,u,v)=0G(x,u,v)=0\left\{ \begin{aligned}F(x,u,v)=0\\G(x,u,v)=0 \end{aligned} \right. 所确定的隐函数（一元函数 u=u(x),v=v(x)u=u(x),v=v(x)），同样对原方程两边对 xx 求导即可

{Fx′+Fu′dudx+Fv′dvdx=0Gx′+Gu′dudx+Gv′dvdx=0\left\{ \begin{aligned} F'_{x}+F'_{u} \frac{du}{dx}+F'_{v} \frac{dv}{dx}=0\\ G'_{x}+G'_{u} \frac{du}{dx}+G'_{v} \frac{dv}{dx}=0\\ \end{aligned} \right.

再从该方程组中解出 dudx\frac{du}{dx} 和 dvdx\frac{dv}{dx} 即可。

对于二元隐函数 u=u(x,y),v=v(x,y)u=u(x,y),v=v(x,y) 确定的方程组 {F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0\left\{ \begin{aligned}F(x,y,u,v)=0\\G(x,y,u,v)=0 \end{aligned} \right.，方法与上式相同。

{Fx′+Fu′∂u∂x+Fv′∂v∂x=0Gx′+Gu′∂u∂x+Gv′∂v∂x=0\left\{ \begin{aligned} F'_{x}+F'_{u} \frac{\partial u}{\partial x}+F'_{v} \frac{\partial v}{\partial x}&=0\\ G'_{x}+G'_{u} \frac{\partial u}{\partial x}+G'_{v} \frac{\partial v}{\partial x}&=0\\ \end{aligned} \right.

多元函数的极值​

函数在某点领域的一阶偏导都存在且为 00，则在该点取得极值。

（必要条件）若多元函数在某点领域的一阶导数存在且取得极值，则

fx′(x0,y0)=0,    fy′(x0,y0)=0f'_{x}(x_{0},y_{0})=0,\ \ \ \ f'_{y}(x_{0},y_{0})=0

凡是使 f(x,y)f(x,y) 的偏导数都为 00 的点，都被成为 驻点，则具有一阶偏导数的函数的极值点一定是驻点，但是驻点不一定是极值点。

（充分条件）多元函数在某点领域存在连续的 二阶偏导数，且 fx′(x0,y0)=0,    fy′(x0,y0)=0f'_{x}(x_{0},y_{0})=0,\ \ \ \ f'_{y}(x_{0},y_{0})=0，令 fxx′′(x0,y0)=A,fyy′′(x0,y0)=B,fxy′′(x0,y0)=Cf''_{xx}(x_{0},y_{0})=A, f''_{yy}(x_{0},y_{0})=B,f''_{xy}(x_{0},y_{0})=C，则

  1. . 当 AC−B2>0AC-B^2>0 时，f(x,y)f(x,y) 在 x0,y0x_{0},y_{0} 取得极值，A>0A>0 时取得极小值；
  2. . 当 AC−B2<0AC-B^2<0 时，f(x,y)f(x,y) 在 x0,y0x_{0},y_{0} 无极值；
  3. . 当 AC−B2=0AC-B^2=0 时，不能确定 f(x,y)f(x,y) 是否有极值，需要进一步讨论（一般使用极值定义）。
条件极值

函数 f(x,y)f(x,y) 在 ϕ(x,y)=0\phi(x,y)=0 下的极值；一般是使用拉格朗日乘数法解决：

首先构造拉格朗日函数 F(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y)F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\phi(x,y)，然后解方程组

{∂F∂x=∂f∂x+λ∂ϕ∂x=0∂F∂y=∂f∂a+λ∂ϕ∂a=0∂F∂λ=ϕ(x,y)=0\left\{ \begin{aligned} &\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}+\lambda \frac{\partial\phi}{\partial x}=0\\ &\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial a}+\lambda \frac{\partial\phi}{\partial a}=0\\ &\frac{\partial F}{\partial \lambda}=\phi(x,y)=0\\ \end{aligned} \right.

对于三个变量，则需要再设两个 λ\lambda. 某些形式可以根据约束条件直接带入减少未知变量。

多元函数的最值​

一般考察两种，多元函数在某个闭区域内的最值，或者多元函数在某些条件的最值（应用题，需要列出目标函数）

方向导数、梯度及几何应用​

二元函数在某点 (x0,y0)(x_{0},y_{0}) 沿 l=(a,b)(a2+b2=1)\mathbf{l}=(a,b)(a^2+b^2=1) 方向的方向导数为

∂f(x0,y0)∂l=lim⁡t→0+f(x0+at,y0+bt)−f(x0,y0)t\frac{\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial l}=\lim_{ t \to 0^+ } \frac{f(x_{0}+at,y_{0}+bt)-f(x_{0},y_{0})}{t}
caution

注意方向向量需要单位化

代数表示为

fx′cos⁡α+fy′cos⁡β+fz′cos⁡γf'_{x} \cos\alpha+f'_{y}\cos\beta+f'_{z}\cos \gamma

这里的 cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma 是方向余弦，计算公式如下：

cos⁡α=xx2+y2+z2,cos⁡β=yx2+y2+z2,cos⁡γ=zx2+y2+z2\cos\alpha= \frac{x}{\sqrt{ x^2+y^2+z^2 }},\cos\beta= \frac{y}{\sqrt{ x^2+y^2+z^2 }},\cos\gamma= \frac{z}{\sqrt{ x^2+y^2+z^2 }}

对于多元函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 的任意一点的方向余弦公式为

cos⁡α=−fx1+fx′+fy′,cos⁡β=−fy1+fx′+fy′,cos⁡γ=11+fx′+fy′\cos\alpha=-\frac{f_{x}}{\sqrt{ 1+f'_{x}+f'_{y} }},\cos\beta=-\frac{f_{y}}{\sqrt{ 1+f'_{x}+f'_{y} }},\cos\gamma=\frac{1}{\sqrt{ 1+f'_{x}+f'_{y} }}

梯度为 gradf(x0,y0)=(∂f(x0,y0)∂x,∂f(x0,y0)∂y)\mathbf{grad}f(x_{0},y_{0})=\left( \frac{\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial x}, \frac{\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial y}\right)，就是对应的位置求偏导得到的一个向量，其与方向向量做内积可以得到方向向量 grad⋅(cos⁡α,cos⁡β)\mathbf{grad}\cdot(\cos\alpha,\cos\beta)，也可以表示为梯度的形式

∂f(x0,y0)∂l=gradf(x0,y0)⋅l\frac{\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial \mathbf{l}}=\mathbf{grad}f(x_{0},y_{0})\cdot \mathbf{l}

因此方向向量的最大变化率就是沿着梯度的方向。