反常积分

什么是反常积分

反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。

反常积分存在时的几何意义是，函数与 X 轴所围面积存在有限制时，即便函数在一点的值无穷，但面积可求。

反常积分大致可以分为三种类型：

• 无穷区间的反常积分
• 无界函数的反常积分
• 二者混合的反常积分

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反常积分的每个被积函数都只能有一个无穷限或瑕点，遇到多个时需要进行拆分，当其中任意一个积分发散时，整个反常积分都发散。

如

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\sin\frac1x$$

积分不存在。

反常积分散敛性

先看一个重要的积分

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac1x$$

由于其有上下限都为无穷，需要将其拆开：

$$\int_1^{+\infty}\frac1x+\int_0^1\frac1x+\int_{-1}^0\frac1x+\int_{-\infty}^{-1}\frac1x$$

含有无穷上下限的积分项都发散，则其整体发散。

我们称 $\int _{a}^{+\infty} \frac{1}{x^p} \, dx$ 为 $p$ 积分，当 $p>1$ 时，反常积分收敛，$p\leq 1$ 时，反常积分发散；另有 $\int _{0}^{a} \frac{1}{x^p}\, dx$，当 $p\geq 1$ 时发散，$p<1$ 时收敛。