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具体介绍见 wiki

基本导数公式

ddxc=0ddxxn=nxn−1ddxex=exddxax=axln⁡addxln⁡x=1xddxlog⁡ax=1xln⁡addxsin⁡x=cos⁡xddxcos⁡x=−sin⁡xddxtan⁡x=sec⁡2xddxcot⁡x=−csc⁡2xddxsec⁡x=sec⁡xtan⁡xddxcsc⁡x=−csc⁡xcot⁡x\begin{aligned} & \frac{d}{dx} c = 0 \\ & \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \\ & \frac{d}{dx} e^x = e^x \\ & \frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a \\ & \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} \\ & \frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a} \\ & \frac{d}{dx} \sin x = \cos x \\ & \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x \\ & \frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x \\ & \frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x \\ & \frac{d}{dx} \sec x = \sec x \tan x \\ & \frac{d}{dx} \csc x = -\csc x \cot x \\ \end{aligned}

基本积分公式

∫c dx=cx+C∫xn dx=1n+1xn+1+C∫ex dx=ex+C∫ax dx=1ln⁡aax+C∫1x dx=ln⁡∣x∣+C∫1xln⁡a dx=log⁡a∣ln⁡∣x∣∣+C∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C∫cos⁡x dx=sin⁡x+C∫tan⁡x dx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C∫cot⁡x dx=ln⁡∣sin⁡x∣+C∫sec⁡x dx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C∫csc⁡x dx=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C\begin{aligned} & \int c\,dx = cx + C \\ & \int x^n\,dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C \\ & \int e^x\,dx = e^x + C \\ & \int a^x\,dx = \frac{1}{\ln a}a^x + C \\ & \int \frac{1}{x}\,dx = \ln |x| + C \\ & \int \frac{1}{x\ln a}\,dx = \log_a | \ln |x| | + C \\ & \int \sin x\,dx = -\cos x + C \\ & \int \cos x\,dx = \sin x + C \\ & \int \tan x\,dx = -\ln |\cos x| + C \\ & \int \cot x\,dx = \ln |\sin x| + C \\ & \int \sec x\,dx = \ln |\sec x + \tan x| + C \\ & \int \csc x\,dx = \ln |\csc x - \cot x| + C \\ \end{aligned}

做题套路

有理化​

一般来说，分母不变，分子有理化，可以用来凑微分。

拆​

对于分母是几个多项式相乘的形式，可使用待定系数法，转化为几个分式之和。

凑微分​

一些常见的凑微分形式

∫xf(x)dx=12∫f(x)dx2\int xf(x)dx = \frac12\int f(x)dx^2 ∫cos⁡xdx=∫dsin⁡x\int \cos xdx = \int d\sin x ∫sin⁡xdx=−∫dcos⁡x\int \sin xdx = -\int d\cos x ∫f(x)⋅g′(x)g(x)=−2∫f(x)dg(x)\int f(x)\cdot\frac{g'(x)}{\sqrt{g(x)}} = -2\int f(x) d\sqrt{g(x)}

变量代换​

tan⁡2x+1=sec⁡2x\tan^2x + 1 = \sec^2x tan⁡x+tan⁡1x=π2\tan x+\tan \frac1x = \frac\pi2

当

华里士公式（点火公式）​

∫cosnxdx=∫sinnxdx={n−1n⋅n−2n−1⋯23⋅1x is positive oddn−1n⋅n−2n−1⋯34⋅12⋅π2x is positive even\int cos^nxdx = \int sin^nxdx=\begin{cases} \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n-1}\cdots\frac{2}{3}\cdot 1 & \text{x is positive odd} \\ \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n-1}\cdots\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} & \text{x is positive even} \end{cases}

区间再现公式​

区间再现公式在不改变积分上下限的情况下实现了换元，公式如下：

∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx=12∫ab[f(x)+f(a+b−x)]dx\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(a+b-x)dx = \frac12\int_a^b[f(x)+f(a+b-x)]dx

证明​

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\begin{align} &\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)\\ \end{align}

令 t=a+b−xt=a+b-x：

∫abf(a+b−x)dx=−∫baf(t)dt=−(F(a)−F(b))=F(b)−F(a)\begin{align} \int_{a}^{b}f(a+b-x)dx&=-\int_{b}^{a}f(t)dt\\ &=-(F(a) - F(b))\\&=F(b)-F(a) \end{align}

使用方式​

  • 对于较为困难的积分题目可以考虑使用相加除以二分之一的方法，可能会对原式进行一定的化简。
  • 某些题目可能只需要还元，而无需相加除二分之一。

三角函数相关​

∫0πxf(sin⁡x)dx=π2∫0πf(sin⁡x)dx\int_0^\pi xf(\sin x)dx = \frac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)dx

由区间再现可令 x=π−xx=\pi-x

∫0πxf(sin⁡x)dx=∫π0(π−x)f(sin⁡x)d(π−x)=π∫0πf(sin⁡x)dx−∫0πxf(sin⁡x)dx\begin{align} \int_0^\pi xf(\sin x)dx=&\int_\pi^0(\pi-x)f(\sin x)d(\pi-x)\\ =&\pi\int_0^\pi f(\sin x)dx - \int_0^\pi xf(\sin x)dx \end{align}

移项即可

双元积分法​

https://zhuanlan.zhihu.com/p/94491466

https://zhuanlan.zhihu.com/p/443599480

被积函数转换为奇偶函数之和​

若区间对称，可以尝试将被积函数转换为奇偶函数之和，往往会消去其中难积分的部分（奇函数部分）。

转换方式为

f(x)=f(x)+f(−x)2+f(x)−f(−x)2f(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2}

前半部分为偶函数，后半部分为奇函数，因此积分时可以直接去掉，因而这实际上等价于区间再现。