多元函数积分学

二重积分

极坐标

$$\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}$$

面积微分：$r dr d\theta$

三重积分

柱坐标

$$\begin{cases} x=r \cos\theta,\ 0\leq r\leq+\infty, \\ y=r\sin\theta,\ 0\leq\theta\leq 2\pi, \\ z=z,\ -\infty<z<+\infty \end{cases}$$

其中体积微元是

$$dv=r dr d\theta dz$$

球坐标

$$\begin{cases} x=r\sin\phi \cos\theta,\ 0\leq r<+\infty, \\ y=r\sin\phi \sin\theta,\ 0\leq \phi\leq\pi, \\ z=r\cos\phi,\ 0\leq \theta\leq 2\pi, \\ \end{cases}$$

体积微元是

$$dv = r^2\sin\phi dr d\phi d\theta$$

线积分

对弧长的线积分

积分形式为 $\int f(x(t), y(t))\sqrt{ x'^2(t)+y'^2(t) } \, dt$ （适用于参数方程）或 $\int f(x,y(x)) \sqrt{ 1+y'^2(x) } \, dx$ 或 $f(r\cos\theta, r\sin\theta)\sqrt{ r^2 + r'^2 }d\theta$.

可以利用对称性进行求解，特别的，若积分曲线关于 $y=x$ 对称，则 $\int f(x,y) \, ds=\int f(y,x) \, ds$，或 $\int f(x) \, ds=\int f(y) \, ds$.

数值与积分方向无关。

对坐标的线积分

$$\int _{L}P(x,y) \, dx+Q(x,y) \, dy=\lim_{ \lambda \to 0 } \sum_{i=1}^n[P(\xi_{i},\eta_{i})\Delta x_{i}+Q(\xi_{i},\eta_{i})\Delta y_{i}]$$

该积分与积分的路径有关

$$\int _{L(AB)}P(x,y) \, dx+Q(x,y) \, dy=-\int _{L(BA)}P(x,y) \, dx+Q(x,y) \, dy$$

计算方法如下：

直接法

$$\int P\ dx+Q\ dy=\int [P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)] \, dt$$

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第二类线积分如果使用三角函数参数方程化简时，曲线为一个圆或者椭圆，则无论曲线在何位置，参数的范围都是 $(0,2\pi)$，需要将曲线的圆心作为坐标原点。 而若是曲面积分则不然。

格林公式

设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成，函数 $P(x, y),Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则有

$$\oint_{L}P\ dx+Q\ dy=\iint_{D}\left( \frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y}\right)$$

其中 $L$ 为 $D$ 取正向的边界曲线，即 逆时针方向。

函数 $P(x, y),Q(x,y)$ 在单连通域 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则以下四条等价：

1. $\int _{L}P\ dx+ Q\ dy$ 与路径无关；
2. $\oint_{L}P\ dx+Q\ dy=0$，其中 $L$ 为 $D$ 中任一分段光滑闭曲线；
3. $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$；
4. $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=dF(x,y)$.

两类线积分的联系

$$\oint P\ dx+Q\ dx=\oint(P\cos\alpha+Q\cos\beta)ds$$

斯托克斯公式

$L$ 为空间分段光滑的有向闭曲线，$\sum$ 是以 $L$ 为边界的分片光滑曲面，二者方向都符合右手法则，函数 $P,Q,R$ 在 $\sum$ 上具有一阶连续偏导数，则有

$$\begin{aligned} &\oint_{L}P(x,y,z)\ dx+Q(x,y,z)\ dy+R(x,y,z)\ dz\\ &=\iint_{\sum} \begin{vmatrix} \cos\alpha&\cos\beta&\cos\gamma\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R \end{vmatrix}dS\\ &=\iint_{\sum}\left( \frac{\partial R}{\partial y} -\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+\left( \frac{\partial P}{\partial z} -\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx+\left( \frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy \end{aligned}$$

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注意积分变量 $ds$ 和 $dS$，前者通过向量余弦可以变换为 $dx=\cos\alpha ds$，后者则是 $dydz=\cos\alpha dS$.

面积分

对面积的面积分

设曲面 $\sum:z=z(x,y),(x,y)\in D_{xy}$

$$\iint_{\sum}f(x,y,z)dS=\iint_{D_{xy}}f[x,y,z(x,y)]\sqrt{ 1+z'^2_{x}+z'^2_{y}}dxdy$$

数值与积分方向无关。

对坐标的面积分

与对坐标的线积分类似。

直接法：$\iint_{\sum}R(x,y,z)dxdy=\pm \iint_{D_{xy}}R[x,y,z(x,y)]dxdy$

若曲面 $z$ 的法向量与 $z$ 轴夹角为锐角，则为正。

高斯公式

设空间闭区域 $\Omega$ 由分片光滑闭曲面 $\sum$ 所围成，函数 $P,Q,R$ 在 $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数，则

$$\oint_{\sum_{out}}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint\left( \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \right)dv=\iint_{\sum}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS$$

物理应用

质心

不能一次求出质心的具体位置，但是可以求出质心在某个坐标轴上的坐标，公式形如

$$\frac{\iint x\rho(x,y)d\sigma}{\iint\rho(x,y)d\sigma}$$

转动惯量

需要确定旋转的方向，积分中乘以微元到转轴在旋转平面上的距离，形如

$$\iint y^2\rho(x,y)d\sigma$$

通量

高斯定理中的通量，对于向量场

$$U(x,y,z)=Pi+Qj+Rk$$

其通量为

$$\iint_{\sum}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$$

环流量

$$\oint Pdx+Qdy+Rdz$$

变力做功

和环流量类似，但是首先要把变力在各个坐标轴上分解

$$F=P i+Qj+Rk$$

在运用曲线积分公式

$$W=\int Pdx+Qdy+Rdz$$

散度与旋度

设有向量场 $A(x,y,z)=\{P,Q,R\}$，其中 $P,Q,R$ 具有一阶连续偏导数，则散度定义为

$$divA= \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

旋度定义为

$$rotA=\begin{vmatrix} i&j&k\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R \end{vmatrix}$$